1
Dasar-Dasar Distribusi Probabilitas Gabungan
MATH005Lesson 6
00:00
Pada pelajaran-pelajaran sebelumnya, kita hidup dalam dunia berdimensi satu, mengamati variabel acak secara terpisah. Sekarang, kita memperluas cakrawala kita ke Distribusi Probabilitas Gabungan. Bayangkan mengamati vektor variabel secara bersamaan—seperti tinggi dan berat badan seorang siswa, atau koordinat jarum panah yang mengenai papan. Kerangka ini memungkinkan kita untuk secara matematis menjelaskan bagaimana variabel-variabel saling berinteraksi, saling bergantung, atau justru berdiri sendiri dalam independensi yang sempurna.

1. Fungsi Distribusi Kumulatif Gabungan (JCDF)

Dasar dari analisis variabel ganda adalah Fungsi Distribusi Gabungan $F(a_1, a_2, \dots, a_n)$. Fungsi ini mendefinisikan probabilitas bahwa beberapa kondisi terpenuhi secara bersamaan.

$F(a_1, a_2, \dots, a_n) = P\{X_1 \le a_1, X_2 \le a_2, \dots, X_n \le a_n\}$

Rumus ini merepresentasikan probabilitas bahwa setiap variabel $X_i$ berada di bawah ambang batas masing-masing $a_i$ secara bersamaan. Secara geometris, dalam dua dimensi, ini adalah probabilitas bahwa pasangan acak $(X, Y)$ berada dalam persegi panjang semi-infinite di sebelah kiri-bawah titik $(a, b)$.

2. Interpretasi Infinitesimal dari Kepadatan

Untuk variabel kontinu, kita menggambarkan probabilitas melalui Fungsi Kepadatan Probabilitas Gabungan (JPDF), $f(x, y)$. Berbeda dengan kasus diskret, probabilitas pada satu titik adalah nol. Sebaliknya, kita melihat wilayah-wilayah infinitesimal:

  • Probabilitas bahwa pasangan $(X, Y)$ jatuh dalam persegi panjang kecil diberikan oleh:
    $P\{a < X < a + da, b < Y < b + db\} = \int_{b}^{b+db} \int_{a}^{a+da} f(x, y) \, dx \, dy \approx f(a, b) \, da \, db$
  • Secara alternatif dinyatakan sebagai: $P\{x < X < x + dx, y < Y < y + dy\} \approx f(x, y) dx dy$

Ini mengungkapkan bahwa $f(x, y)$ merupakan "kepadatan" relatif terhadap luas wilayah pada bidang Kartesius.

3. Ketergantungan dan Kendala Geometris

Dalam probabilitas, Variabel acak yang tidak independen dikatakan saling bergantung. Ini bukan hanya sifat aljabar; sering kali tampak dalam dukungan distribusi.

Contoh 1c: Titik Acak pada Lingkaran

Pertimbangkan titik $(X, Y)$ yang dipilih secara seragam di dalam lingkaran berjari-jari $R$ yang berpusat di $(0,0)$. Variabel $X$ dan $Y$ adalah bergantung karena mengetahui $X = x$ membatasi nilai-nilai yang mungkin bagi $Y$.

Jika $X$ mendekati $R$, maka $Y$ harus mendekati $0$. Secara matematis, $Y$ dibatasi: $-\sqrt{R^2 - X^2} \le Y \le \sqrt{R^2 - X^2}$. Batas ini yang mencegah kepadatan gabungan difaktorkan menjadi marginal yang independen.

🎯 Intisari Utama
Distribusi gabungan mendefinisikan ruang probabilitas bersama. Ketika realisasi satu variabel membatasi hasil yang mungkin dari variabel lain (seperti pada CONTOH 1c, 1d, dan 1e), kita telah menangkap inti dari ketergantungan.